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Blog do Professor Francisco Célio Feitosa de França

13/3/2013 - Aulas 19 à 30 (18/03/2013 à 26/03/2013) (Exercícios Resolvidos) - Química Inorgânica II - Estrutura Atômica

1. Arranje, em ordem crescente de energia, os seguintes tipos de fótons de radiação eletromagnética: raios gama, raios X, luz visível, radiação ultravioleta, micro-ondas.



Resolução: Como E =hf = hc/l, temos que quanto maior a frequência maior a energia e quanto menor for o comprimento de onda maior a energia. Observamos pelo espectro eletromagnético, (espectro eletromagnético é o intervalo completo da radiação eletromagnética, que contém desde as ondas de rádio, as microondas, o infravermelho, a luz visível, os raios ultravioleta, os raios X, os raios gama, até aos raios cósmicos.) que os raios gama apresentam a frequência maior de todas as referidas neste exercício, portanto ela será a mais energética, seguida pelos raios X que apresentam a segunda maior frequência, depois pela radiação ultra violeta que apresenta a terceira maior frequência, seguida pela luz visível que apresenta a quarta maior frequência seguida pela radiação de micoondas que apresenta a menor frequência. Logo a ordem decrescente de energia será: Eraios gama>Eraios X>Eultravioleta>Eluz visível>Emicroondas. Portanto, a ordem crescente de energia será:Emicroondas<Eluz visível<Eultravioleta<Eraios XEraios gama.

2. (a) A radiação infravermelha tem comprimento de onda entre 800 nm e 1 mm. Qual é a frequência da radiação 925 nm? (b) micro-ondas, como as que são usadas em radares e para aquecer comida em fornos de micoondas, têm comprimento de onda superior a cerca de 3 mm. Qual a frequência da radiação de 4,15 mm?

Resolução: (a) Toda radiação eletromagnética obedece a seguinte relação fl = c, portanto, fradiação infravermelha x lradiação infravermelha = c, logo:

fradiação infravermelha x 925 nm x 10-9 m/1 nm =  2,998 x 108 m.s-1 ⇒ fradiação infravermelha  = 2,998 x 108 m.s-1/9,25 x 10-7 m = 3,24 x 1014 s-1 = 3,24 x 1014 Hz.

(b) fradiação micoondas x lradiação micoondas = c, logo:

fradiação micoondas x 4,15 mm x 10-3 m/1 mm = 2,998 x 108 m.s-1 ⇒ fradiação micoondas = 2,998 x 108 m.s-1/4,15 x 10-3 m = 7,22 x 1010 s-1 = 7,22 x 1010 Hz.

3. As lâmpadas de vapor de sódio usadas na iluminação pública emitem luz amarela de comprimento de onda 589 nm. Quanta energia é emitida por (a) um átomo de sódio excitado quando ele gera um fóton, (b) 5,00 mg de átomos de sódio que emitem luz nesse comprimento de onda, (c) 1,00 mol de átomos de sódio que emitem luz nesse comprimento de onda?

Resolução: (a) Efóton = hffóton = hc/lfóton = 6,626 x 10-34 J.s x 2,998 x 108 m.s-1/ 5,89 x 10-7 m = 3,37 x 10-19 J. (b) En mols de fótons = nE1 mol de fóton = (m/MM)E1 mol de fóton = (m/MM)AEfóton = 5,00 mg x 10-3 g/ 1 mg x 6,02 x 1023/22,99 g x 3,37 x 10-19 J = 44,12 J. (c)  E1 mol de fótons = AEfóton, onde A = 6,02 x 1023, portanto, E1 mol de fótons = 6,02 x 1023 x 3,37 x 10-19 J = 2,03 x 105 J

4. Os fótons de raios gama emitidos durante o decaimento nuclear de um átomo de tecnécio-99 usado em produtos radiofarmacêuticos têm energia igual a 140,511 keV. Calcule o comprimento de onda de um fóton desses raios gama.

Resolução: E = 140,511 keV x 103 eV/ 1 keV x 1,602 x 10-19 J/1 eV = hc/lfóton = 2,25 x 10-14 J ⇒ 6,626 x 10-34 J.s x 2,998 x 108 m.s-1/lfóton = 2,25 x 10-14 J ⇒ lfóton =  1,986 x 10-25 J.m/ 2,25 x 10-14 J = 8,82 x 10-12 m = 8,82 pm.

5.  (a) A velocidade de um elétron emitido pela superfície de um metal iluminada por um fóton é 3,6 x 103 km.s-1. Qual é o comprimento de onda do elétron emitido? (b) A superfície do metal não emite elétrons até que a radiação alcance 2,5 x 1016 Hz. Quanta energia é necessária para remover o elétron da superfície do metal? (c) qual é o comprimento de onda da radiação que causa a fotoemissão do elétron? (d) Que tipo de radiação eletromagnética foi usada?

Obs v = 3,6 x 103 km.s-1 x 103 m/1 km = 3,6 x 106 m.s-1

Resolução: (a) O exercício trata do efeito fotoelétrico que satisfaz a seguinte relação:

E = Ec + Ei = Ec + f ⇒ Ec = E – f      (1), Ou hf2 = hf – hf1 ⇒ hc/l2 = hc/l - hc/l1    (2), onde f e l = frequência e comprimento de onda da radiação incidente sobre a superfície do metal, f1 e l1= frequência e o comprimento de onda da radiação necessária para remover o elétron e f2 e l2= frequência  e comprimento de onda da radiação que o elétron passa a ter quando entra em movimento. Portanto, teremos que Ec = 1/2mev2 = hf2     (3); logo Ec = 1/2 x 9,1x 10-31kg x (3,6 x 106 m.s-1)2 = 5,87 x 10-18 kg.m2.s-2 = 5,87 x 10-18 J = hf2= hc/l2 = 6,626 x 10-34 J.s x 2,998 x 108 m.s-1/l2 ⇒ 5,87 x 10-18 J x l2 = 1,99 x 10-25 J.m ⇒ l2 = 1,99 x 10-25 J.m/ 5,87 x 10-18 J = 0,339 x 10-7 m = 3,39 x 10-8 m.

(b) f1 = 2,50 x 1016Hz,  Ei = f = hf1 = 6,626 x 10-34 J.s x 2,50 x 1016 s-1 = 1,66 x 10-17 J

(c)  hf2 = hf – hf1 ⇒  hf = hf2 + hf1 = 5,87 x 10-18 J +  1,66 x 10-17 J = 2,23 x 10-17 J ⇒ hf = hc/l = 2,23 x 10-17 J ⇒ 6,626 x 10-34 J.s x 2,998 x 108 m.s-1/l = 2,23 x 10-17 J ⇒ 1,99 x 10-25 J.m/l = 2,23 x 10-17 J ⇒ l = 1,99 x 10-25 J.m/2,23 x 10-17J = 8,92 x 10-9 m = 8,92 nm

(d) região dos raios X. (Ver Figura abaixo)

 

6. Uma bola de beisebol pesa entre 145,00 e 149,00 gramas. Qual é o comprimento de onda de uma bola de 145,75 gramas arremessada a 1447,2 km.h-1?

Resolução: A relação matemática que envolve massa, velocidade e comprimento de onda é a relação de de Boglie: l = h/p = h/mv.

Antes de efetuar os cálculos devemos expressar a velocidade e a massa nas unidades adequadas que é m.s-1 e kg respectivamente.

V = 147,2 km.h-1 x 103 m/1 km x 2,78 x 10-4 s-1/h-1 = 40,9 ms-1. m = 145,75 g x 1 kg/ 103 g = 0,146 kg. Logo:

l = 6,626 x 10-34 J.s/0,146 kg x 40,9 m.s-1 = 6,626 x 10-34 Kg.m2.s-2.s/0,146 kg x 40,9 m.s-1 = 6,626 x 10-34 kg.m2.s-1/ 5,97 kg.m.s-1 = 1,11 x 10-34 m.

7. Qual é a velocidade de um nêutron de comprimento de onda 100 pm.

 Resolução: A relação matemática que envolve velocidade e comprimento de onda é a relação de de Boglie: l = h/p = h/mv.

Antes de efetuar os cálculos devemos expressar o comprimento de onda na unidade adequada que é o m. l = 100 pm = 100 x 10-12 m = 10-10 m. A massa do nêutron é: 1,675 x 10-27 kg. Logo:

l = 6,626 x 10-34 J.s/ 1,675 x 10-27 kg x V = 6,626 x 10-34 kg.m2.s-2.s/1,675 x 10-27 kg x V = 10-10 m ⇒ V = 6,626 x 10-34 kg.m2s-1/ 1,675 x 10-27 kg x 10-10 m = 3,96 x 103 m.s-1.

8. Encontre uma equação geral para as energias associadas a uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de comprimento L.

Resolução: A maneira mais exata – e mais geral – de encontrar os níveis de energia da partícula em uma caixa unidimensional é resolver a equação de Schrödinger. Em primeiro lugar, devemos lembrar que a energia potencial da partícula é zero em qualquer ponto dentro da caixa. Assim, VΨ = 0. A equação de Schrödinger é: 2/2mÑ2Ψ + VΨ = EΨ que no caso de uma partícula em uma caixa unidimensional se reduz a:2/2m(d2Ψ/dx2) + VΨ = EΨ, mas como VΨ = 0 a equação que devemos resolver é:

2/2m(d2Ψ/dx2) = EΨ

Essa equação admite as soluções:

Ψ(x) = Asen kx + Bcos kx

em que A, B e k são constantes, como pode ser verificado pela substituição das soluções na equação diferencial e o uso de d(sen kx)/dx = k cos kx e d(cos kx)/dx = -k sen kx. Então, como:

(d2Ψ/dx2) = d2/dx2(Asen kx + Bcos kx) = d/dx[d/dx(Asen kx + Bcos kx)] = d/dx(Ak cos kx – Bk sen kx) = Ak (-k sen kx) – Bk (k cos kx) = -Ak2 sen kx – Bk2 cos kx = -k2(Asen kx + Bcos kx), mas (Asen kx + Bcos kx) = Ψ(x), logo:

 (d2Ψ/dx2) = -k2Ψ(x) podemos concluir, pela substituição dessa relação na Equação de Schrödinger, que:

 -ћ2/2m(-k2Ψ) = EΨ ⇒ ћ2k2/2m = E, como ћ = h/2p, teremos que E = k2h2/4p2x2m = k2h2/8p2m.

Temos agora de encontrar o valor das constantes A, B e k. O primeiro ponto a observar  é que a função de onda é zero fora da caixa, mas deve ser contínua. Portanto, para uma caixa de comprimento L, Ψ(x) deve ser zero nas paredes da caixa, em x = 0 e x = L.

Costuma-se chamar essas restrições de “condições de contorno”. Portanto, ao fazer x = 0, como Ψ(x) = Asen kx + Bcos kx, teremos que Ψ(0) = Asen k.0 + Bcos k.0 = Asen 0 + Bcos 0, mas sen 0  = 0 e cos 0 = 1, então teremos que: Ψ(0) = A.0 + B = B. Entretanto, Ψ(0) = 0; logo, B = 0 e a função de onda que é Ψ(x) = Asen kx + Bcos kx fica: Ψ(x) = Asen kx + 0.cos kx = Asen kx. Ou seja:

 Ψ(x) = Asen kx

Para encontrar o valor de k, devemos usar a segunda condição de contorno, isto é, Ψ(L) = 0. Assim,

Ψ(L) = Asen kL = 0

 Para  que isso seja verdade ou A = 0 ou sen kL = 0. A não pode ser zero porque Ψ(x) seria zero em qualquer ponto, isto é, a partícula não estaria dentro da caixa. Por isso, para garantir que Ψ(L) = 0, devemos usar as relações sen np = 0 e kL = np, ou seja k = np/L, com n = 1, 2, 3,...Temos, agora, que:

Ψ(x) = Asen kx = Asen npx/L com n = 1, 2,....

Para encontrar a última constante, A, temos de usar o fato de que a probabilidade de encontrar a partícula em uma região de comprimento dx em x é Ψ(x)2dx, e que a probabilidade total de encontrar a partícula entre x = 0 e x = L é a soma (integral) dessas probabilidades e deve ser igual a um (a partícula deve estar em algum lugar dentro da caixa). Portanto,

∫ Ψ(x)2dx = ∫ (A2sen2 npx/L)dx = A2∫ (sen2 npx/L)dx = 1

O valor da integral é: ∫ (sen2 npx/L)dx = L/2, portanto, A2∫ (sen2 npx/L)dx = A2.L/2 = 1, logo: A2 = 2/L e A = (2/L)1/2. E a forma final da função de onda é: Ψ(x) = Asen npx/L = (2/L)1/2sen npx/L, onde n = 1, 2, 3... Além disso, como k está limitado aos valores np/L, segue-se que a energia da partícula está limitada a:

En = k2h2/8p2m = (n2p2/L2)h2/8p2m = n2h2/8mL2.

Podemos observar que a quantização da energia é uma consequência direta da imposição das condições de contorno sobre a função de onda, a que Ψ deve obedecer para ser aceitável.

9. Use a Equação anterior para a energia de uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento L para calcular a separação de energia entre dois níveis adjacentes com números quânticos n e n+1.

Resolução: En+1 - En = (n + 1)2h2/8mL2 – n2h2/8mL2 = (n2 + 2n + 1)h2/8mL2 - n2h2/8mL2 = (2n + 1)h2/8mL2

10. (a) Use o modelo da partícula em uma caixa para o átomo de hidrogênio, tratando o elétron em uma caixa unidimensional de comprimento 150 pm, e prediga o comprimento de onda da radiação emitida quando o elétron passa do nível n = 3 ao nível n = 2. (b) Repita o cálculo para a transição entre os níveis n = 4 e n = 5.

Resolução: (a) Devemos encontrar uma equação para calcular a separação de energia entre dois níveis adjacentes de uma partícula em uma caixa unidimensional. Esta equação já foi encontrada no exercício anterior que é: hf = hc/l = (2n+1)h2/8meL2 = (2x2 + 1)h2/8meL2 = 5h2/8meL2 = hc/l ⇒ 5h2l/8meL2 = hc ⇒ l = hc8meL2/ 5h2 = 8mecL2/5h = 8 x 9,1 x 10-31 kg x 2,998 x 108 ms-1 x (1,50 x 10-10 m)2/5 x 6,626 x 10-34 kg.m2.s-1 = 4,91 x 10-41 kg.m3.s-1/3,31 x 10-33 kg.m2.s-1 = 1,48 x 10-8 m.

(b) hf = hc/l = (2n+1)h2/8meL2 = (2x4 + 1)h2/8meL2 = 9h2/8meL2 = hc/l ⇒ 9h2l/8meL2 = hc ⇒ l = hc8meL2/ 9h2 = 8mecL2/9h = 8 x 9,1 x 10-31 kg x 2,998 x 108 ms-1 x (1,50 x 10-10 m)2/9 x 6,626 x 10-34 kg.m2.s-1 = 4,91 x 10-41 kg.m3.s-1/5,96 x 10-33 kg.m2.s-1 = 8,2 x 10-9 m.

11. Avalie a probabilidade de encontrar um elétron em uma pequena região do orbital 1s do hidrogênio, a uma distância 0,55a0 do núcleo, em relação à probabilidade de encontrá-lo em uma região do mesmo volume localizado no núcleo.

Resolução: A função de onda que corresponde ao estado fundamental do átomo de hidrogênio é:

Ψ(r, q, f) = e-r/a0/(pa03)1/2.

A densidade de probabilidade de um elétron no ponto (r, q, f) quando ele está em um orbital 1s é obtida a partir da função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio:

Ψ2(r, q, f) = e-2r/a0/pa03

Para o exercício em questão devemos calcular a razão entre os quadrados das funções de onda nos dois pontos:

(Densidade de probabilidade em r = 0,55a0)/(Densidade de probabilidade em r = 0) = Ψ2(0,55a0, q, f)/Ψ2(0, q, f) = e-2x0,55a0/a0/pa03/e-2x0/a0/pa03 = e-1,1a0/a0/pa03/1/pa03 = e-1,1/pa03/1/pa03 = e-1,1 = 0,33

Ou seja, a probabilidade de encontrar um elétron em um pequeno volume a uma distância 0,55ao do núcleo representa somente 33% da probabilidade de encontrar um elétron em um mesmo volume localizado  no núcleo.

 12. Qual é a probabilidade de encontrar um elétron em uma pequena esfera de raio (a) a0 ou (b) 2a0 no estado fundamental de um átomo de hidrogênio?

Resolução: (a) A densidade de probabilidade de um elétron no ponto (r, q, f) quando ele está em um orbital 1s é obtida a partir da função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio:

Ψ2(r, q, f) = e-2r/a0/pa03, onde a0 é o raio de bohr = 52,9 pm = 0,529 Å.

Logo, Ψ2(a0, q, f) = e-2a0/a0/pa03 = e-2/pa03  = e-2/p(0,529 Å)3 = 0,135/0,465 = 0,290 (29%)  e Ψ2(2a0, q, f) = e-2x2a0/a0/pa03 = e-4/pa03 = e-4/p(0,529 Å)3 = 0,0183/0,465 =  0,039 = (3,9%).

 13. Usando o modelo da partícula numa caixa, calcular os três primeiros níveis de energia de um nêutron (m = 1,673 x 10-27 kg) confinado num núcleo que tenha L = 2 x 10-5 nm (1 nm = 1 x 10-9 m) de diâmetro. As diferênças entre os níveis de energia são razoáveis?

Resolução: E1 = n2h2/8mL2 = 12 x (6,626 x 10-34 J·s)2/ 8 x 1,673 x 10-27 kg (2 x 10-14 m)2 x 1 eV/1,602 x 10-19 J = 12 x (6,626 x 10-34 kg m2.s-2·s)2/ 8 x 1,673 x 10-27 kg (2 x 10-14 m)2 x 1 eV/1,602 x 10-19 J = 4,39 x 10-67 kg2m4s-2/ 5,35 x 10-54 kg.m2  x 1 eV/1,602 x 10-19 J = 5,12 x 105 eV = 0,512 MeV. Este valor da energia de ponto zero é comparável com as energias dos constituintes dum núcleo. 

Como En = n2E1 ⇒ E2 = 22E1 = 22 x 0,512 MeV = 2,05 MeV e E3 = 32E1 = 32 x 0,512 MeV = 4,61 MeV.

 14. Uma partícula alfa num núcleo pode ser imaginada como uma partícula que se move numa caixa com 10-14 m de largura (que é mais ou menos o diâmetro de um núcleo), usando este modelo, estime a nergia e o momento da partícula alfa no seu estado fundamental. A massa da partícula alfa é  4 x 1,66 x 10-27 kg. Qual é o comprimento de onda da partícula?

Resolução: E1 = n2h2/8mL2 = 12 x (6,626 x 10-34 J·s)2/ 8 x 4 x 1,66 x 10-27 kg (10-14 m)2 x 1 eV/1,602 x 10-19 J = 12 x (6,626 x 10-34 kg m2.s-2·s)2/ 8 x 4 x 1,66 x 10-27 kg (10-14 m)2 x 1 eV/1,602 x 10-19 J = 4,39 x 10-67 kg2m4s-2/ 5,31 x 10-54 kg.m2  x 1 eV/1,602 x 10-19 J = 5,16 x 105 eV = 0,516 MeV.

p = ħ x k  e k = np/L ⇒ pn = ħ x np/L  p1 = ħ x p/L = 1,055 x 10-34 J.s x 3,14/10-14 m = 1,055 x 10-34 kg.m2.s-2.s x 3,14/10-14 m =  3,31 x 10-20 kg.m.s-1; l = h/p = 6,626 x 10-34 J.s/3,31 x 10-20 kg.m.s-1 = 6,626 x 10-34 kg.m2.s-1/3,31 x 10-20 kg.m.s-1 = 2 x 10-14 m.

 15. Um elétron está confinado entre duas barreiras impenetráveis, separadas por L = 0,2 nm = 2 x 10-10 m. qual o comprimento de onda do fóton que o elétron emitirá saltando do estado excitado E3 para o estado fundamental (n = 1)?

Resolução: Quando uma partícula eletricamente carregada faz uma transição dum estado excitado En para outro estado mais baixo Em, ela vai emitir a diferença de energia entre os estados em forma de um fóton com a energia En - Em = hf. (No processo inverso, um fóton com a energia hf pode ser absorvido e levar o elétron do estado Em para o estado mais alto En.) usando a equação En  = n2E1 com E1 = h2/8mL2 = (6,626 x 10-34 J.s)2/8 x 9,1 x 10-31 kg x (2 x 10-10 m)2 = (6,626 x 10-34 kg.m2.s-2.s)2/8 x 9,1 x 10-31 kg x (2 x 10-10 m)2 =  4,39 x 10-67 kg2.m4.s-2/2,91 x 10-49 kg.m2 = 0,151 x 10-17 J x 1 eV/1,602 x 10-19 J = 9,4 eV, obteremos E3 = 32E1 = 32 x 9,4 eV = 84,6 eV x 1,602 x 10-19 J/1 eV = 1,355 x 10-17 J. Então hf = E3 - E1 = 1,355 x 10-17 J - 0,151 x 10-17 J = 1,205 x 10-17 J e f = E3 - E1/h = 1,205 x 10-17 J/6,626 x 10-34 J.s = 0,182 x 1017 s-1 e l = c/f = 3 x 108 m.s-1/0,182 x 1017 s-1 = 1,65 x 10-8 m = 16,5 nm. Este comprimento de onda está na região do ultravioleta remoto (ver Figura abaixo).

 16. Se as funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ3(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger para um potencial V(x, t), mostre que a combinação linear Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t) também é uma solução desta equação.

Solução:    Usando a Equação de Schrödinger

 -ћ2/2m∂2Ψ(x,t)/∂x2 + V(x, t)Ψ(x,t) = iћ∂Ψ(x,t)/∂t       (1)

queremos mostrar que a função dada Ψ(x, t) é solução da Equação de Schrödinger, escrevendo na seguinte forma

2/2m∂2Ψ(x,t)/∂x2 + V(x, t)Ψ(x,t) – iћ∂Ψ(x,t)/∂t = 0         (2)

substituindo a função Ψ(x, t) na expressão acima temos:


2/2m∂2[c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t)]/∂x2 + V(x, t)[c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t)] – iћ∂[c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t)]/∂t = 0

2/2m[c12Ψ1(x, t)/∂x2 + c22Ψ2(x, t)/∂x2 + c32Ψ3(x, t)/∂x2] + c1V(x, t)Ψ1(x, t) + c2V(x, t)Ψ2(x, t) + c3V(x, t)Ψ3(x, t) –c1iћ∂Ψ1(x, t)/∂t  –c2iћ∂Ψ2(x, t)/∂t  –c3iћ∂Ψ3(x, t)/∂t = 0

c1[-ћ2/2m[∂2Ψ1(x, t)/∂x2 + V(x, t)Ψ1(x, t) - iћ∂Ψ1(x, t)/∂t] + c2[-ћ2/2m[∂2Ψ2(x, t)/∂x2 + V(x, t)Ψ2(x, t) - iћ∂Ψ2(x, t)/∂t] + c3[-ћ2/2m[∂2Ψ3(x, t)/∂x2 + V(x, t)Ψ3(x, t) - iћ∂Ψ3(x, t)/∂t] = 0             (3)

Como o problema nos diz que as funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ3(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger, isto quer dizer que:

2/2m[∂2Ψ1(x, t)/∂x2 + V(x, t)Ψ1(x, t) - iћ∂Ψ1(x, t)/∂t = 0
2/2m[∂2Ψ2(x, t)/∂x2 + V(x, t)Ψ2(x, t) - iћ∂Ψ2(x, t)/∂t = 0
2/2m[∂2Ψ3(x, t)/∂x2 + V(x, t)Ψ3(x, t) - iћ∂Ψ3(x, t)/∂t = 0

substituindo estes valores na expressão (3), temos:

c1.0 + c2.0 + c3.0 = 0

esta igualdade será verificada para quaisquer valores de c1, c2 e c3, isto torna expressão (2) verdadeira, e portanto, Ψ(x, t ) é solução da Equação de Schrödinger.

17. Uma lâmpada de descarga de 25 W (1 W = 1 J.s-1) emite luz amarela de comprimento de onda 580 nm. Quantos fótons de luz amarela são gerados pela lâmpada em 1,0 s?

Solução: Número de fótons = N = Etotal/Efóton = Etotal/(hc/l) = l.Etotal/hc, mas Etotal = Pt, logo: N = lPt/hc = (5,80 x 10-7 m) x (25 J.s-1) x (1,0 s)/(6,626 x 10-34 J.s x 3,00 x 108 ms-1) = 7,3 x 1019 fótons.

18. Estime a incerteza mínima em (a) a posição de uma bola de gude de massa 1,0 g, sabendo que sua velocidade é conhecida no intervalo ± 1,0 mm.s-1 e (b) a velocidade de um elétron confinado em um diâmetro de um átomo típico (200 pm).

Obs.: Deve-se esperar que a incerteza na posição de um objeto pesado, como uma bola de gude, seja muito pequena, mas que a incerteza da velocidade de um elétron, que é muito leve e está confinado em uma região de diâmetro pequeno, seja muito grande. Como a incerteza da velocidade é dada como mais ou menos um dado valor, a incerteza na velocidade, Dv, é igual a duas vezes esse valor.

Solução: (a) Primeiro escreva a massa e a incerteza da velocidade usando a base de unidades SI:

m = 1,0 g x 1kg/103 g = 1,0 x 10-3 kg; Dv = 2 x (1,0 mm.s-1 x 1m/103 mm) = 2,0 x 10-3 m.s-1). Portanto, a incerteza mínima na posição, Dx será:

Como Dx.Dp > ћ/2 Þ Dx.mDv > ћ/2, então: Dx = ћ/2mDv = 1,055 x 10-34 J.s/2 x 1,0 x 10-3 kg x 2,0 x 10-3 m.s-1 = 1,055 x 10-34 kg.m2.s-2.s/2 x 1,0 x 10-3 kg x 2,0 x 10-3 m.s-1 = 2,6 x 10-29 m.

(b) A massa de um elétron é 9,109 x 10-31 kg. O diâmetro do átomo é 200 x 10-12 m, ou 2,00 x 10-10 m. Como Dx.mDv > ћ/2, então a incerteza mínima na velocidade, Dv, será:

Dv = ћ/2mDx = 1,055 x 10-34 J.s/2 x 9,109 x 10-31 kg x 2,00 x 10-10 m = 1,055 x 10-34 kg.m2.s-2.s/2 x 9,109 x 10-31 kg x 2,00 x 10-10 m =  = 2,89 x 105 m.s-1.

Como se esperava, a incerteza da velocidade do elétron é muito grande, que é ± 2,89 x 105 m.s-1/2 x 1 km/103 m = 145 km.s-1 ~ 150 km.s-1.

19. Calcule o comprimento de onda da radiação emitida por um átomo de hidrogênio na transição de um elétron entre os níveis n2 = 3 e n1 = 2.

Solução:  Para a transição de um nível n2 = 3 para um nível n1 = 2 podemos usar a seguinte Equação, onde R = constante de Rydberg = 3,29 x 1015 Hz = 3,29 x 1015 s-1:

f = R(1/n12 – 1/n22) = R(1/22 – 1/32) = 5/36R      (1), como lf = c, então teremos que l = c/f   (2), substituindo (1) em (2) teremos: l = c/f = c/(5/36R) = 36c/5R = 36 x 2,998 x 108 m.s-1/5 x 3,29 x 1015 s-1 = 6,57 x 10-7 m.

20. (a) Quantos valores do número quântico l são possíveis quando n = 7? (b) Quantos valores de ml são permitidos para um elétron na subcamada 6d? (c) Quantos valores de ml são permitidos para um elétron em uma subcamada 3p? (d) Quantas subcamadas existem na camada com n = 4?

Solução: (a) Para n = 7; l pode variar de zero até n – 1, portanto, l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; logo são possíveis n valores do número quântico l, ou seja, no de valores do número quântico l = n = 7 valores.

(b) n = 6 e l = 2; portanto, os valores de ml variam de -l passando por 0, até +l, logo, os valores de ml são: -2, -1, 0, +1, +2; portanto, são possíveis 2l + 1 valores do número quântico ml, ou seja, no de valores do número quântico ml = 2l + 1 = 2x2 + 1 = 5 valores.

(c) n = 3 e l = 1; portanto, são possíveis 2l + 1 valores do número quântico ml, ou seja, no de valores do número quântico ml = 2l + 1 = 2x1 + 1 = 3 valores. Os valores de ml são: -1, 0, +1.

(d) n = 4; l que corresponde as subcamadas pode variar de 0 até n – 1, portanto, l =  0, 1, 2, 3; logo, são possíveis n valores do número quântico l, ou seja, no de valores do número quântico l = n = 4 valores. Como cada valor de l corresponde a uma subcamada teremos que: no de subcamadas = n = 4 subcamadas.

21. Quais são os números quânticos principal e de momento angular do orbital, para cada um dos seguintes orbitais: (a) 6p; (b) 3d; (c) 2p; (d) 5f?

Solução: (a) 6p; n = 6 e l = 1; (b) 3d; n = 3 e l = 2; (c) 2p; n = 2 e l = 1; (d) 5f; n = 5 e l = 3.

22. Para cada um dos orbitais listados no Exercício anterior, dê os valores possíveis do número quântico magnético.

Solução: Sabendo que ml pode assumir os valores de -l passando por 0 até +l, então teremos que: (a) l = 1, portanto ml pode assumir os seguintes valores: ml = -1, 0, +1; (b) l = 2, portanto ml pode assumir os seguintes valores: ml = -2, -1, 0, +1, +2; (c) l = 1, portanto ml pode assumir os seguintes valores: ml = -1, 0, +1; (d) l = 3, portanto ml pode assumir os seguintes valores: ml = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3.

23. Quantos elétrons, no total, podem ocupar (a) os orbitais 4p; (b) os orbitais 3d; (c) o orbital 1s; (d) os orbitais 4f?

Solução: (a) n = 4 e l = 1, no de életrons total  = número de orbitais x no de elétrons permitido por orbital = (2l + 1)2 = (2 x 1 + 1)2 = 6 elétrons; (b) n = 3 e l = 2, no de életrons total  = número de orbitais x no de elétrons permitido por orbital = (2l + 1)2 = (2 x 2 + 1)2 = 10 elétrons; (c) n = 1 e l = 0, no de életrons total  = número de orbitais x no de elétrons permitido por orbital = (2l + 1)2 = (2 x 0 + 1)2 = 2 elétrons; (d) n = 4 e l = 3, no de életrons total  = número de orbitais x no de elétrons permitido por orbital = (2l + 1)2 = (2 x 3 + 1)2 = 14 elétrons.

24. Escreva a notação da subcamada (3d, por exemplo) e o número de orbitais que têm os seguintes números quânticos: (a) n = 5, l = 2; (b) n = 1, l = 0; (c) n = 6, l = 3; (d) n = 2, l = 1.

Solução: (a) n = 5, l = 2;  l = 2 corresponde a subcamada d, logo, a notação da subcamada = n(subcamada) = 5d; no de orbitais em uma subcamada = 2l + 1 = 2 x 2 + 1 = 5 orbitais; (b) n = 1, l = 0;  l = 0 corresponde a subcamada s, logo, a notação da subcamada = n(subcamada) = 1s; no de orbitais em uma subcamada = 2l + 1 = 2 x 0 + 1 = 1 orbital; (c) n = 6, l = 3;  l = 3 corresponde a subcamada f, logo, a notação da subcamada = n(subcamada) = 6f; no de orbitais em uma subcamada = 2l + 1 = 2 x 3 + 1 = 7 orbitais; (d) n = 2, l = 1;  l = 1 corresponde a subcamada p, logo, a notação da subcamada = n(subcamada) = 2p; no de orbitais em uma subcamada = 2l + 1 = 2 x 1 + 1 = 3 orbitais.

25. Quantos elétrons podem ter os seguintes números quânticos em um átomo? (a) n = 2, l = 1;  (b) n = 4, l = 2, ml = -2; (c) n = 2; (d) n =3, l = 2, ml = +1. 

Solução: (a) n = 2, l = 1; no de életrons total  = número de orbitais x no de elétrons permitido por orbital = (2l + 1)2 = (2 x 1 + 1)2 = 6 elétrons; (b) n = 4, l = 2, ml = -2; Observe que quando ml é especificado estamos tratando de um único orbital em particular, portanto, no de életrons total  = no de elétrons permitido por orbital = 2 elétrons; (c) n = 2;  em uma camada o no de életrons total  = 2n2 = 2 x 22 = 8  elétrons; (d) n = 3, l = 2, ml = +1; Observe que quando ml é especificado estamos tratando de um único orbital em particular, portanto, no de életrons total  = no de elétrons permitido por orbital = 2 elétrons.

26. Quais das seguintes subcamadas não podem existir em um átomo? (a) 2d; (b) 4d; (c) 4g; (d) 6f.

Solução: (a) subcamada 2d; n = 2, l = 2; se n = 2; l varia de 0 até n – 1 ou seja de 0 até 1; portanto, para n = 2, l só pode ser 0 ou 1, portanto, a subcamada 2d não pode existir; (b) subcamada 4d; n = 4, l = 2; se n = 4; l varia de 0 até n – 1 ou seja de 0 até 3; portanto, para n = 4, l só pode ser 0, 1, 2 e 3, portanto, a subcamada 4d existe; (c) subcamada 4g; n = 4, l = 4; se n = 4; l varia de 0 até n – 1 ou seja de 0 até 3; portanto, para n = 4, l só pode ser 0, 1, 2 e 3, portanto, a subcamada 4g não pode existir; (d) subcamada 6f; n = 6, l = 3; se n = 6; l varia de 0 até n – 1 ou seja de 0 até 5; portanto, para n = 6, l só pode ser 0, 1, 2, 3, 4 e 5, portanto, a subcamada 6f existe.

27. Determine se as seguintes configurações eletrônicas representam o estado fundamental ou um estado excitado do átomo em questão.


Solução: (a) Esta configuração para o átomo de carbono só pode representar um estado excitado pois está em desacordo com a regra de Hund. Se nós calcularmos os quatro números quânticos para os dois elétrons do subnível p teremos que: para o primeiro elétron; n = 2, l = 1, ml = -1 e ms = +1/2 e para o segundo elétron; n = 2, l = 1, ml = -1 e ms = -1/2, o que está de acordo com o princípio de exclusão de Pauli, no entanto desobedece a regra de Hund pois os elétrons foram primeiro emparelhados antes de os outros orbitais do mesmo subnível terem recebidos um elétron cada um com spins parlelos. (b) Esta configuração para o átomo de nitrogênio só pode representar um estado excitado pois está em desacordo com o princípio de exclusão de Pauli. Se nós calcularmos os quatro números quânticos para os dois elétrons com mesmos spins do subnível p teremos que: para o primeiro elétron; n = 2, l = 1, ml = -1 e ms = +1/2 e para o segundo elétron; n = 2, l = 1, ml = +1 e ms = +1/2, o que está em desacordo com o princípio de exclusão de Pauli, pois os dois elétrons apresentam o mesmo número de spins, no entanto obedece a regra de Hund pois os elétrons foram primeiro distribuídos pelos outros orbitais do mesmo subnível cada um com spins parlelos antes de emparelha-los. (c) Esta configuração para o átomo de berílio só pode representar um estado excitado pois está em desacordo com o princípio de exclusão de Pauli. Se nós calcularmos os quatro números quânticos para o elétron do subnível 2s e para o outro elétron do subnível 2p teremos que: para o primeiro elétron; n = 2, l = 0, ml = 0 e ms = +1/2 e para o segundo elétron; n = 2, l = 1, ml = -1 e ms = +1/2, o que está em desacordo com o princípio de exclusão de Pauli, pois os dois elétrons apresentam o mesmo número de spins. (d) Esta configuração para o átomo de oxigênio representa o estado fundamental pois está em acordo com o princípio de exclusão de Pauli e está em acordo com a regra de Hund. Se calcularmos os quatro números quânticos para os dois elétrons que estão desemparelhado no subnível p teremos que para o elétron 1,  n = 2, l = 1, ml = 0, ms = +1/2 e para o segundo, n = 2, l = 1, ml = +1, ms = +1/2, o que está de acordo com o princípio de exclusão de Pauli. Podemos observar também que a distribuição dos quatro elétrons no subnível p obedece a regra de Hund, onde os três primeiro elétrons foram distribuídos pelos três orbitais p do referido subnível cada um contendo um elétron com spins paralelos e só em seguida o quarto elétron foi emparelhado com o primeiro elétron.

28. Dentre os conjuntos de quatro números quânticos [n, l, ml, ms], identifique os que são proibídos para um elétron em um átomo e explique por quê: (a) [4, 2, -1, +1/2]; (b) [5, 0, -1, +1/2]; (c) [4, 4, -1, +1/2].

Solução: (a) n = 4, l = 2, ml = -1 e ms = +1/2; Se n = 4, então os valores permitidos para l variam de 0 a té 4 – 1 = 3, ou seja l pode assumir os seguintes valores: 0, 1, 2, 3 e portanto, ml pode assumir os valores de 0, ±1, ±2, ±3 e ms pode assumir os valore de ±1/2; portanto, estes valores de números quânticos são permitidos para um elétron em um átomo. (b) n = 5, l = 0, ml = -1 e ms = +1/2; Se n = 5, então os valores permitidos para l variam de 0 a té 5 – 1 = 4, ou seja l pode assumir os seguintes valores: 0, 1, 2, 3, 4 e portanto, ml pode assumir os valores de 0, ±1, ±2, ±3, ±4 e ms pode assumir os valore de ±1/2; portanto, estes valores de números quânticos são permitidos para um elétron em um átomo. (c) n = 4, l = 4, ml = -1 e ms = +1/2; Se n = 4, então os valores permitidos para l variam de 0 a té 4 – 1 = 3, ou seja l pode assumir os seguintes valores: 0, 1, 2, 3 e portanto, ml pode assumir os valores de 0, ±1, ±2, ±3 e ms pode assumir os valore de ±1/2; logo, l não pode ser igual a 4; portanto, estes valores de números quânticos não são permitidos para um elétron em um átomo.

29. A espectroscopia de infravermelho é uma importante ferramenta para o estudo das vibrações das moléculas. Da mesma forma que um átomo pode absorver um fóton de energia apropriada para remover um elétron de um estado eletrônico para outro, uma molécula pode absorver um fóton de radiação eletromagnética na região do infravermelho para mover-se de um nível de energia vibracional para outro. Na espectroscopia de infravermelho, é comum expressar a energia em termos de n/c, cuja unidade é o cm-1 (leia centímetros recíprocos). (a) Se uma absorção ocorre no espectro infravermelho em 3600 cm-1, qual é a frequência da radiação que corresponde a esta absorção? (b) Qual é a energia, em joules (J), desta absorção? (c) Quanta energia seria absorvida por 1,00 mol de moléculas que absorvem em 3600 cm-1?

Solução: (a) f/c = 3600 cm-1 ⇒ f/(2,998 x 108 m.s-1 x 1 cm/10-2 m) = 3600 cm-1 ⇒ f/(2,998 x 1010 cm.s-1) = 3600 cm-1 ⇒ f = 2,998 x 1010 cm.s-1 x 3600 cm-1 = 1,08 x 1014 s-1 = 1,08 x 1014 Hz. (b) E = hf = 6,626 x 10-34 J.s x 1,08 x 1014 s-1 = 7,16 x 10-20 J. (c) E1 mol de moléculas = A x Efóton = 6,02 x 1023 x 7,16 x 10-20 J = 4,31 x 104 J.

30. Na técnica espectroscópica conhecida como espectroscopia fotoeletrônica (PES), a radiação ultravioleta é dirigida para um átomo ou molécula. Elétrons são ejetados da camada de valência e suas energias cinéticas são medidas. Como a energia dos fótons ultravioleta incidentes é conhecida e a energia cinética do elétron ejetado é medida, a energia de ionização, I, pode ser deduzida porque a energia total é conservada. (a) Mostre que a velocidade, v, do elétron ejetado e a frequência, n, da radiação incidente estão relacionadas por:

E = hf = I + 1/2mev2

(b) Use essa relação para calcular a energia de ionização de um átomo de rubídio, sabendo que a luz de comprimento de onda de 58,4 nm produz elétrons com velocidade de 2.450 km.s-1. Lembre-se de que 1 J = 1 kg.m2.s-2.


Solução: (a) A energia do fóton que entra, Etotal, deve ser igual à energia necessária para ejetar um elétron, Eejeção, mais a energia que se transforma em energia cinética, Ek, pelo movimento do elétron: Etotal = Eejeção + Ek, mas Etotal para o fóton = hf e Ek = 1/2mev2 em que me é a massa do objeto que no caso é o elétron ejetado e v é sua velocidade. Eejeção corresponde à energia de ionização, I; logo, chegamos à relação final desejada: Etotal = Eejeção + Ek ou seja: hf = I + 1/2mev2. (b) Como: hf = I + 1/2mev2 ⇒ I = hf – 1/2mev2 = hc/l – 1/2mev2. Neste ponto devemos converter o comprimento de onda e a velocidade para as unidades adequadas (m e m.s-1 , respectivamente). l = 58,4 nm = 58,4 x 10-9 m = 5,84 x 10-8 m e v = 2.450 km.s-1 x 103 m/ 1 km = 2,45 x 106 m.s-1. Logo, I = [(6,626 x 10-34 J.s x 2,998 x 108 m.s-1)/5,84 X 10-8 m] – 1/2(9,1 x 10-31 kg) x (2,45 x 106 m.s-1)2 = [(6,626 x 10-34 kg.m2.s-2.s x 2,998 x 108 m.s-1)/5,84 X 10-8 m] – 1/2(9,1 x 10-31 kg) x (2,45 x 106 m.s-1)2 = (19,86 x 10-26 kg.m3.s-2/5,84 x 108 m) – 2,73 x 10-18 kg.m2.s-2 = 3,40 x 10-18 kg.m2.s-2 – 2,73 x 10-18 kg.m2.s-2 = 0,67 x 10-18 kg.m2.s-2 = 6,7 x 10-19 kg.m2.s-2 = 6,7 x 10-19 J.

31. Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento 258 pm. (a) Qual é a energia de ponto zero (EPZ) para este sistema? Para um mol de tais sistemas?(b) Qual velocidade eletrônica classicamente corresponde a esta EPZ? Compare à velocidade da luz.

Solução: (a) EPZ = Emais baixa = En=1 = 12 h2 /8mL2 = (1)2(6,626 × 10−34 J.s)2/8(9,11 × 10−31 kg)(258 × 10−12 m)2 = 9,05 × 10−19 J; Por mol, isto é igual = (9,05 × 10−19 J)(6,022 × 1023 mol−1 )(1 kJ/103 J) = 54.5 kJ mol−1. (b) E é toda energia cinética desde que V = 0, na caixa (E = Ek + V, como V = 0, logo E = Ek). Assim E = mev2/2, portanto, v = [2E/me]1/2,  Então, v = (2 x (9.05 × 10−19 J)/9,11 x 10-31 kg)1/2 = (2 x (9.05 × 10−19 kg.m2.s-2)/9,11 x 10-31 kg)1/2 = 1,41 × 106 m.s−1. Comparada a velocidade da luz, isto é 1,41 × 106 m.s−1/2,998 x 108 m.s-1 = 0,0047, ou aproximadamente 0,5% da velocidade da luz.

 

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27/8/2013 - Duvida

Comentário por Guilherme
Boa Tarde

Como voce chegou nesse resultado? logo Ec = 1/2 x 9,1x 10-31kg x (3,6 x 106 m.s-1)2 = 5,87 x 10-18 kg.m2.s-2

Eu não consegui chegar nesse valor de 5,87

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Guilherme
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